فرمول محاسبه مساحت و حجم اشکال هندسی

یکی از مهم‌ترین موضوعاتی که در درس ریاضی بررسی میشه، فرمول حجم اشکال هندسی، محیط و مساحت هر شکله.

دانش‌آموزان در هر پایه با شکل‌های هندسی جدید آشنا میشن و بعد از بررسی کامل هر شکل، باید یاد بگیرن تا با استفاده از فرمول محیط و مساحت اشکال هندسی و همین‌طور حجم هر شکل، بتونن محیط و مساحت و حجم اون‌ها رو محاسبه کنن.

در ادامه، ما حجم، مساحت و محیط هر شکل رو بررسی می‌کنیم تا بتونین به راحتی این مبحث رو یاد بگیرین.

حجم یک شکل هندسی به مقدار فضای اشغال شده توسط اون شکل گفته میشه. برای محاسبه حجم یک شکل هندسی، باید با استفاده از فرمول اون شکل، مقدار حجم رو محاسبه کنیم. هر شکل هندسی فرمول مخصوص به خودش رو داره که با استفاده از اون می‌تونیم حجم اون شکل رو محاسبه کنیم.

به عنوان مثال، فرمول محاسبه حجم هرم و کره با هم یکی نیست. در واقع فرمول‌های حجم اشکال هندسی بر اساس ویژگی‌هایی که هر شکل داره مثل طول، عرض، ارتفاع، شعاع و... تعریف میشن. در مواردی که شکل هندسی نامنظمه، می‌تونیم با تقریب و در نتیجه خطای کم، از یک فرمول تقریبی برای محاسبه حجم استفاده کنیم.

برای یادگیری حجم شکل‌های هندسی می‌تونین از راه‌های مختلفی مثل فلش کارت، خلاصه‌نویسی و ... استفاده کنین و بهترین روش‌ درس خوندن مخصوص به خودتون رو پیدا کنین.

در قسمت قبلی با مفهوم حجم آشنا شدیم. اما ممکنه این سوال برای شما پیش بیاد که مساحت یعنی چی؟ در واقع به فضایی که درون یک شکل هندسی وجود داره مساحت میگیم. با این تعریفات، فرمول به دست آوردن حجم اشکال هندسی و مساحت هر کدوم از اون‌ها با هم متفاوته.

دانش‌آموزان در کنار فرمول حجم اشکال هندسی و مساحت هر شکل، باید فرمول محیط رو هم بلد باشن. محیط در واقع اندازه دور تا دور شکل هندسی بسته‌ست. محیط معمولا برای شکل‌هایی که دو بعدی هستن، مثل مربع و مستطیل تعریف میشه و شکل‌هایی که سه بعدی هستن مثل هرم و استوانه، محیط ندارن.

گفتیم حجم، رابطه‌ایه که برای محاسبه فضای اشغال شده توسط یک شکل سه بعدی در فضا به کار میره. در ادامه انواع اشکال هندسی رو به همراه فرمول حجم اشکال هندسی به شکل یک فهرست بررسی می‌کنیم.

در آموزش‌های اپلیکیشن فاب تمام این فرمول‌ها با روش‌های جدید آموزشی توضیح داده میشن طوری که هیچ‌وقت اون‌ها رو فراموش نکنین. این فرمول‌ها به خصوص در آموزش هندسه یازدهم ریاضی خیلی به کار شما میان.

کره در واقع مجموعه نقاطی از فضاست که مثل یک توپ، کاملا گرده. تمامی نقاط این کره در فاصله یکسانی از مرکز قرار دارن و فاصله این نقاط تا مرکز رو شعاع میگیم. بلندترین فاصله از دو طرف کره که از درون کره و مرکزش عبور می‌کنه، قطر نام داره و دو برابر اندازه شعاعه.

حجم کره

برای این که بتونیم از طریق فرمول حجم اشکال هندسی؛ حجم کره رو به دست بیاریم، باید شعاع کره رو داشته باشیم که شعاع رو در نمادهای ریاضی با r نشون میدن. بنابراین از طریق فرمول زیر، حجم کره به دست میاد:

مساحت کره

برای به دست آوردن مساحت کره هم لازمه که شعاع این شکل رو داشته باشیم؛ بعدش به راحتی می‌تونیم از طریق فرمول زیر، مساحت این شکل هندسی رو به دست بیاریم:

یکی از اشکال سه بعدی که از کنار هم قرار گرفتن 6 مربع به وجود میاد، مکعب مربعه که ضلع هر یک از مربع‌ها، تنها با یک مربع دیگه مشترکه. مکعب رو یک 6 ضلعی منتظم در نظر میگیرن و به دلیل این که یک شکل سه بعدیه، می‌تونیم حجمش رو به دست بیاریم.

حجم مکعب مربع

برای این که بتونین با استفاده از فرمول حجم کره، حجم این شکل رو به دست بیارین، باید اندازه یک ضلع مربع که با a نشون داده میشه رو داشته باشین:

مساحت مکعب مربع

برای فرمول مساحت مکعب مربع و به دست آوردن جواب، باید اندازه یک ضلع رو داشته باشین:

فرمول مساحت و حجم استوانه

استوانه یک شکل هندسیه سه بعدیه که دارای دو صفحه موازی به هم و یک سطحی مثل دیوار (پوشیدگی) دور اون‌هاست. این شکل هندسی در واقع از ترکیب یک دایره با شعاع R و یک مستطیل با ارتفاع H تشکیل میشه. صفحه‌ بالای استوانه، یک دایره با شعاع R است و صفحه پایین اون هم یک دایره‌ با شعاع R دیگه‌ست. ارتفاع استوانه هم برابر با H است.

حجم استوانه

در فرمول حجم اشکال هندسی استوانه، شما باید ابتدا مساحت قاعده که در استوانه یک دایره هست و با S نشون میدن رو حساب کنین و بعد در ارتفاع که نماد ریاضیش h هست، ضرب کنین:

مساحت استوانه

برای به دست آوردن مساحت یک استوانه، شما باید علاوه بر ارتفاع، شعاع قاعده این شکل رو هم داشته باشین:

منشور یک شکل هندسی سه بعدیه که دارای دو پایه متقابل و صفحات جانبی دوگانه و موازی با پایه‌هاست؛ این شکل هندسی با توجه به شکل پایه‌ها، به منشور مستطیلی، منشور مثلثی، منشور شش ضلعی و ... تقسیم‌بندی میشه. در منشور مستطیلی، پایه‌ها یک مستطیل هستن و صفحات جانبی رو ارتفاع منشور تشکیل میدن.

در نوع مثلثی منشور، پایه‌ها به شکل یک مثلث هستن. منشور‌ها دو قاعده دارن و در بسیاری از مسائل هندسی و فضایی مورد استفاده قرار می‌گیرن.

حجم منشور

برای حجم منشور، ابتدا باید مساحت جانبی رو به دست بیارین. برای مساحت جانبی، در ابتدا باید محیط قاعده رو پیدا کنین و بعد اون رو در ارتفاع ضرب کنین. اندازه مساحت جانبی رو در فرمول حجم منشور زیر قرار بدین:

مساحت منشور

اندازه مساحت شکل هندسی منشور، از طریق فرمول زیر به دست میاد:

مجموع مساحت دو قاعده × مساحت جانبی

هرم شکلیه که یک قاعده داره و این قاعده می‌تونه به شکل یک چند ضلعی مثل مثلث، مربع و خیلی از شکل های دیگه باشه. وجوه جانبی هرم به شکل مثلثه و این مثلث‌ها همگی به یک راس مشترک متصل میشن.

حجم هرم

برای به دست آوردن فرمول حجم هرم، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

مساحت هرم منتظم

هرم منتظم، هرمیه که قاعده این شکل منتظم باشه و مثلث‌هایی که در وجوه جانبی قرار دارن، اندازه یکسانی داشته باشن. برای مساحت این هرم، به محیط قاعده که با P و مساحت قاعده که با S_b نشون داده میشه نیاز داریم:

مساحت هرم غیرمنتظم

در این هرم، وجوه جانبی با هم دیگه متفاوت هستن و مساحت این شکل از طریق فرمول زیر با جمع مساحت قاعده و مساحت وجوه جانبی که با S.A نشون میدن، به دست میاد:

فرمول مساحت و حجم مخروط

در واقع مخروط شکل هندسیه سه بعدیه که از چرخوندن یک مثلث حول هر کدوم از راس‌ها تشکیل میشه. برای مثال نان بستنی قیفی و کلاه تولد نمونه‌هایی از مخروط هستن.

حجم مخروط

برای به دست آوردن حجم مخروط، باید ارتفاع و شعاع قاعده رو داشته باشیم:

مساحت مخروط

برای مساحت مخروط باید اندازه یال که با L نشون داده میشه رو داشته باشیم:

در قسمت قبلی، فرمول حجم اشکال هندسی رو بررسی کردیم. در ادامه قراره اشکال دو بعدی رو که خیلی مهم هستن رو توضیح بدیم و بعدش فرمول به دست آوردن مساحت و محیط هر کدوم رو هم براتون قرار بدیم.

مربع یک شکل هندسی دو بعدیست که چهار ضلع متساوی و چهار زاویه داخلی 90 درجه داره و به دلیل این که دو بعدیه، حجم نداره. در واقع، مربع یک نوع خاص از مستطیله که تمام زوایای آن 90 درجه هستن و تمام ضلع‌های اون با هم برابرن.

مساحت مربع

اگه ضلع مربع رو a در نظر بگیریم، مساحتش از فرمول زیر به دست میاد:

محیط مربع

برای به دست آوردن محیط یک مربع، کافیه از فرمول زیر استفاده کنین:

مستطیل یک شکل هندسی دو بعدیه که دارای دو زاویه قائمه (90 درجه) و چهار ضلع متوازیه؛ به عبارت دیگه، مستطیل شامل دو طرف متوازی و دو طرف دیگه هم متوازی با همان دو طرف متوازی هستن. این شکل هم به دلیل دو بعدی بودن، حجم نداره و فرمول حجم اشکال هندسی براش تعریف نشده.

مساحت مستطیل

اگه ما طول مستطیل رو x و عرضش رو y در نظر بگیریم، با جایگذاری این اندازه‌ها در فرمول زیر، مساحت مستطیل به دست میاد:

محیط مستطیل

برای فرمول محیط یک مستطیل داریم:

مثلث یک شکل مسطحه که از برخورد سه خط راست به هم در صورتی که دو خط همدیگه رو قطع کنن به وجود میاد. مثلث به دلیل این که شکلی دو بعدیه، حجم نداره. برای مثلث 3 ضلع و 3 زاویه تعریف شده و در تمام مثلثات، اندازهٔ زاویهٔ خارجی یکی از راس‌ها با اندازهٔ مجموع زوایای غیر مجاور با زاویهٔ آن راس برابره.

شما می‌تونین برای اطلاعات بیشتر در مورد نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم، مقاله مربوط رو مطالعه کنین.

مساحت مثلث

برای به دست آوردن مساحت، به ارتفاع و قاعده که با b نشون میدیم، نیاز داریم:

محیط مثلث

اگه ضلع مثلث رو a در نظر بگیریم، برای محیط داریم:

دایره به شکلی گفته میشه که تمام نقاط اون در فاصله‌ ثابتی از یک نقطه‌ مرکزی واقع شده باشه که به این فاصله، شعاع دایره میگن. به دلیل این که دایره شکلی دو بعدیه، حجم نداره و فقط محیط و مساحت داره.

مساحت دایره

برای این که بتونیم مساحت رو به دست بیاریم، به قطر که نمادش d هست نیاز داریم:

محیط دایره

برای محیط دایره لازمه که شعاع رو داشته باشین:

جمع‌بندی

در این مقاله به طور کلی درباره فرمول حجم اشکال هندسی و محیط و مساحت شکل‌ها صحبت کردیم. همون‌طور که می‌دونین اشکال هندسی بخش مهمی از دنیای ریاضیات هستن. یادگیری کامل مباحث کتاب‌های ریاضی بدون تسلط روی تمام مباحث قبلی مثل فرمول‌های حجم و مساحت ممکن نیست!

ما در این مقاله سعی کردیم تا فرمول حجم اشکال هندسی مهم، مساحت و محیط اشکال دو بعدی رو با هم برسی کنیم. برای دریافت تدریس و آموزش ویدئویی این مباحث می‌تونین اپلیکیشن فاب رو از صفحه اصلی سایت دانلود و نصب کنین تا به تمام محتوا‌های آموزشی دسترسی داشته باشین.

برای تقویت ریاضی، حتما باید این مباحث رو خوب خوب یاد گرفته باشین! برای ارتباط بیشتر با ما می‌تونین نظرات و سوالات خودتون رو در قسمت نظرات با ما به اشتراک بذارین.