آموزش صفر تا صد نسبت‌های مثلثاتی مهم

یکی از مهم‌ترین مباحثی که برای درس ریاضی تعریف شده، مثلثاته. این شاخه از علم ریاضی، اهمیت زیادی داره و در بسیاری از علوم دیگه مورد استفاده قرار می‌گیره. دانش‌آموزان در سال دهم مقطع متوسطه، روابط بین نسبت‌های مثلثاتی رو یاد می‌گیرن و با مفاهیم مثلثات آشنا میشن. نسبت‌های مثلثاتی درواقع نشان‌دهنده روابط میان سه ضلع مثلث قائم‌الزاویه و زوایای مابین این ضلع‌هاست.

با کمک مقدار نسبت‌های مثلثاتی می‌تونیم اندازه ضلع و یا زاویه‌ای رو در مثلث به دست بیاریم. همچنین از این نسبت‌ها در علوم دیگه‌ای مثل فیزیک به عنوان ابزار‌های محاسباتی استفاده میشه. پس اگه به دنبال کسب مهارت و شناخت هرچه بهتر فرمول نسبت‌های مثلثاتی هستین، در ادامه این مقاله با ما همراه باشین.

برای ایجاد فرمول‌های نسبت های مثلثاتی، ما به یک مثلث خاص نیاز داریم. این شکل خاص همون مثلثیه که یکی از زاویه‌هاش، 90 درجه بوده و بهش مثلث قائم‌الزاویه میگیم. این مثلث، در هندسه خیلی مهمه؛ برای مثال در رابطه فیثاغورس، از یک مثلث قائم‌الزاویه استفاده می‌کنیم. در این شکل، ضلعی که رو به روی زاویه عمود قرار داره، وتر نامیده میشه و از دو ضلع دیگه مثلث، بزرگتره.

اندازه وتر در این مثلث خیلی مهمه و اگه اندازه‌اش رو نداشتین، یک فرمولی وجود داره که می‌تونین از اون طریق، اندازه وتر رو به دست بیارین. به همین فرمول، فیثاغورس میگن که شما با داشتن اندازه دو ضلع دیگه، می‌تونین به راحتی اندازه وتر رو به دست بیارین. اگه به ترتیب، وتر رو c در نظر بگیریم و دو ضلع دیگه a و b باشن، ما داریم:

حالا اگه بخوایم ضلع‌های این مثلث رو به هم نسبت بدیم، در واقع از علم مثلثات استفاده کردیم و به همین دلیل به چنین نسبت‌هایی، نسبت‌های مثلثاتی میگیم. اما باید بدونین برای به دست آوردن اندازه نسبت‌های مثلثاتی، بهتره که در ابتدا با دایره مثلثاتی آشنا بشین.

برای این نوع دایره در علم مثلثات، شعاع یک واحد در نظر گرفته شده؛ یعنی شعاعش می‌تونه یک سانتی‌متر و یا هزار سانتی‌متر تعریف بشه و در واقع فقط این مهمه که واحد 1 باشه.

ما نسبت‌های مثلثاتی رو می‌تونیم از طریق تقسیم و یا کسری نوشتن زوایای مثلثی که درون این دایره تشکل میشه، بنویسیم و چون در حال نسبت گرفتن هستیم، واحد اندازه‌گیری طولی که برای شعاع به کار می‌بریم مهم نیست؛ فقط کافیه که اندازه یک واحد باشه. در تصویر زیر یک دایره رو با شعاعی واحد مشاهده می‌کنین:

در شکل هم مشخصه که مرکز این دایره در مبدا مختصات دکارتیه و شعاع‌اش هم برابر با یکه. محور‌های عمودی و افقی که در این دایره رسم شده، دایره رو به 4 قسمت مساوی تقسیم کرده. محل برخورد این دایره با محور افقی در قسمت مثبت در ناحیه (1,0) و در ناحیه منفی، نقطه (1,0-) هست.

از طرفی محل برخورد محور عمودی با دایره مثلثاتی در بخش مثبت برابر با (0,1) و در بخش منفی (1-,0) هست. در تصویر زیر، محل تلاقی این محورها با دایره مثلثاتی رو براتون به طور دقیق مشخص کردیم.

به هر کدوم از این 4 ناحیه دایره، یک ربع مثلثاتی میگن و به اصطلاح، دایره مثلثاتی از ربع اول، ربع دوم، ربع سوم و ربع چهارم تشکیل شده. برای بررسی نسبت‌های مثلثاتی، در ابتدا یک مثلث در یکی از ربع‌های این دایره رسم می‌کنن و بر طبق اون، اندازه نسبت‌‌های مثلثاتی رو به دست میارن.

برای به دست آوردن هر یک از نسبت‌های مثلثاتی که در ادامه اون‌ها رو بررسی می‌کنیم، لازمه که در ابتدا یک مثلث داخل دایره مثلثاتی ایجاد کنین. برای این کار، کافیه یک نقطه روی محیط دایره تصور کنین و از اون نقطه، خطی عمود بر محور افقی دایره ایجاد کرده و طول این خط رو که با قرمز مشخص شده، y بذارین.

برای ضلع دوم این مثلث باید دوباره از محور افقی کمک بگیرین. پاره خطی زرد رنگ رو از مبدا دایره تا محل برخورد خط قبلی بر روی محور افقی ایجاد کنین و اسمش رو x بذارین.

در آخرین مرحله کافیه از نقطه‌ای که روی محیط دایره مشخص کرده بودین، پاره خطی به مرکز مختصات دایره رسم کنین. این پاره خط، وتر مثلثه و شما یک مثلث قائم‌الزاویه رو درون دایره ایجاد کردین.

با مشاهده تصویر بالا می‌تونیم متوجه بشیم که وتر دایره رو که رسم کردیم، هم اندازه با شعاع دایره درمیاد و به دلیل این که این دایره مثلثاتی با شعاع یک واحده، اندازه وتر این مثلث هم برابر با یکه؛ چون در واقع همون شعاع دایره هست. در نتیجه با این تعریف، می‌تونیم از طریق فیثاغورس، به فرمول زیر برسیم:

کسینوس

یکی از نسبت‌های مثلثاتی مهم که جزء نسبت‌های مثلثاتی دهمه، کسینوسه. این نسبت مثلثاتی از طریق تقسیم و یا نسبت x به وتر به دست میاد و با نام cos نشون داده میشه. به دلیل این که وتر برابر با 1 میشه، این نسبت همیشه با طول ایکس برابره.

از طرفی چون این مثلث درون دایره مثلثاتی قرار داره، بیشترین اندازه کسینوس 1 و کمترین مقدارش هم منفی 1 هست. برای به دست آوردن کسینوس کافیه اندازه ضلع مجاور زاویه رو به اندازه وتر تقسیم کنیم:

سینوس

سینوس از نسبت‌های مثلثاتیه که می‌تونیم با مثلثی که درون دایره ایجاد کردیم، مقدارش رو به دست بیاریم که بیشترین مقدار 1 و حداقل مقداری که برای سینوس تعریف میشه منفی 1 هست. برای این کار کافیه که اندازه ضلع مقابل به وتر رو تقسیم بر اندازه وتر کنیم:

در تصویر زیر، شما به شکلی دقیق، سینوس و کسینوس رو بر روی دایره مثلثاتی مشاهده می‌کنین.

باید به این مورد توجه داشته باشین که علاوه بر به دست آوردن اندازه هر یک از نسبت‌های مثلثاتی، لازمه که علامتشون رو هم تعیین کنین. هم سینوس و هم کسینوس می‌تونن مثبت و یا منفی باشن. حالا سوال اینجاست که علامت مقدار‌های مثلثاتی رو چطوری میشه به دست آورد؟

برا این کار باید ببینین که سینوس و یا کسینوس، در کدوم ربع دایره قرار داره. برای یادگیری هر چه بهتر شما، در این قسمت تصویری رو قرار دادیم که مشخص می‌کنه هر کدوم از این نسبت‌های مثلثاتی در کدوم یکی از نواحی دایره منفی و یا مثبت هستن.

برای مثال در ربع اول، هم سینوس و هم کسینوس مثبت هستن و با به دست آوردن اندازه‌شون، علامتشون رو باید مثبت بذارین.

تانژانت

در واقع تانژانت پاره خطی هست که از محل برخورد خط زاویه و یا همون وتر، با محور کمکی به دست میاد. این محور کمکی با محور عمودی که از قبل داشتیم موازی هست و در محل برخورد دایره مثلثاتی با محور افقی ایجاد شده.

برای به دست آوردن تانژانت، کافیه مقدار ضلع مقابل رو به اندازه ضلع مجاور تقسیم کنیم. البته از تقسیم سینوس به روی کسینوس هم می‌تونیم مقدار تانژانت رو به  دست بیاریم.

کتانژانت

اگه یک محور کمکی دیگه برای دایره مثلثاتی بکشیم، می‌تونیم کتانژانت ور ایجاد کنیم. برای این کار باید محور کمکی رو موازی با محور افقی قبلی از محل برخورد دایره مثلثاتی با محور عمودی بکشیم. کتانژانت همون ضلع مجاور به ضلع مقابله که می‌تونیم از تقسیم کسینوس بر سینوس هم به دستش بیاریم.

در قسمت‌های قبلی برسی کردیم که نسبت‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس، در هر ناحیه دایره، علامت متفاوتی داشتن. تانژانت و کتانژانت هم به همین ترتیب، با قرارگیری در هر کدوم از نواحی، علامتشون تغییر می‌کنه. در جدول زیر براتون مشخص کردیم که در هر ربع از دایره، علامت این نسبت‌های مثلثاتی مثبته و یا منفی.

حالا که با علامت هر کدوم از این زوایا در نواحی مختلف دایره مثلثاتی آشنا شدین، بهتره بدونین که ما می‌تونیم نسبت‌های مثلثاتی زوایای مختلف رو به دست بیاریم. یعنی می‌تونیم سینوس زاویه 60 درجه و یا تانژانت زاویه 45 درجه رو محاسبه کنیم.

برای این که شما بتونین خیلی راحت‌تر مقدار و اندازه نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم رو یاد بگیرین، در جدول زیر اندازشون رو براتون قرار دادیم:

با توجه به تعریف‌های قبلی که از تانژانت و کتانژانت داشتیم، متوجه شدیم که این دو نسبت مثلثاتی معکوس هم هستن. اما ممکنه این سوال برای شما هم پیش بیاد که آیا سینوس و کسینوس هم معکوس دارن؟ در جواب باید بگیم که بله؛ اگه این دو نسبت مثلثاتی رو هم معکوس کنیم، نسبت مثلثاتی جدیدی ایجاد میشه.

به معکوس کسینوس میگیم سکانت ( sec ) و به معکوس سینوس میگیم کسکانت ( csc ). اگه بخوایم مقدار این دو نسبت رو به دست بیاریم، کافیه اندازه سینوس و یا کسینوسی که در جدول قبلی براتون آورده بودیم رو معکوس کنین. برا مثال سکانت 60 درجه برابر 2 هست. بهتره که جدول نسبت‌های مثلثاتی زیر رو بلد باشین:

تمام نسبت‌های مثلثاتی که تا الان معرفی کردیم، می‌تونن زوج یا فرد باشن. برای تشخیص زوج با فرد بودنشون کافیه زاویه رو قرینه کنیم. اگه نسبت هم قرینه شد، تابع فرد داریم و اگه قرینه نشد، تابع زوج داریم. بر اساس این تعریف می‌تونیم بگیم که سینوس تابعی فرده و کسینوس تابعی زوجه:

sin(−θ) = −sinθ

cos(−θ) = cosθ

همچنین داریم:

tan(−θ) = −tanθ

cot(−θ) = −cotθ

sec(−θ) = secθ

csc(−θ) = −cscθ

برای راحتی شما سینوس و کسینوس زوایای مهم رو، در قالب پی دی اف تهیه کردیم. کافیه روی لینک زیر کلیک و پی دی اف روابط بین نسبت‌های مثلثاتی رو دانلود کنین.

جمع‌بندی

نسبت‌های مثلثاتی از مفاهیم مهم در ریاضیات و هندسه‌ هستن که برای تقویت ریاضی لازمه اون‌ها رو به خوبی بلد باشین تا در آینده برای یادگیری مباحث بیشتر ریاضی و هندسه، به مشکل برنخورین. به همین دلیل ما در این مقاله به آموزش نسبت‌های مثلثاتی پرداختیم تا بتونین خیلی راحت و با زبانی عامیانه، این درس مهم رو یاد بگیرین.

این نسبت‌ها در بررسی و حل مسائل مربوط به مثلثات، به عنوان ابزارهای محاسباتی استفاده میشن و می‌تونن در بعضی مسائل هندسی و فیزیکی خیلی مفید باشن. برای یادگیری بقیه مباحث ریاضی یا بیست گرفتن ریاضی و باید به مباحثی مثل نسبت‌های مثلثاتی مسلط باشین.

فیلم‌های آموزشی ریاضی تمام پایه‌ها در همکلاسی فاب بهترین روش درس خوندن برای یادگیری مفهومی فرمول‌ها و روابطه. تماشای این ویدیوها می‌تونه کمک خیلی بزرگی برای شما باشه.